Октаэдральное число

146 магнитных шариков, образующие октаэдр

Октаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел. Поскольку октаэдр можно рассматривать как две квадратные пирамиды, склеенные своими основаниями (см. рисунок), октаэдральное число определяется как сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел:

$O_{n}=\Pi _{n-1}^{(4)}+\Pi _{n}^{(4)}$

Общая формула для $n$-го по порядку октаэдрального числа $O_{n}$:

$O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}$

Первые из октаэдральных чисел (последовательность A005900 в OEIS):

$1,6,19,44,85,146,231,344,489,670\dots$

Рекуррентная формула:

$O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n;\quad O(1)=1$

Производящая функция последовательности:

${\frac {x(x+1)^{2}}{(x-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}x^{n}=x+6x^{2}+19x^{3}+\cdots ;\quad |x|<1$

Связь с фигурными числами других типов

Данное выше определение связало октаэдральные числа с квадратными пирамидальными. Связь с тетраэдральными числами $\mathbb {T} _{n}$:

$O_{n}+4\mathbb {T} _{n-1}=\mathbb {T} _{2n-1}$

Геометрически эта формула означает, что если наклеить по тетраэдру на четыре не смежные грани октаэдра, то получится тетраэдр удвоенного размера.

Ещё один вид связи:

$O_{n}=\mathbb {T} _{n}+2\mathbb {T} _{n-1}+\mathbb {T} _{n-2}$

Эта формула вытекает из определения и того факта, что квадратное пирамидальное число есть сумма двух тетраэдральных. Другое её истолкование: октаэдр может быть разделён на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две изначально смежные грани.

Связь с тетраэдральными и кубическими числами:

$O_{n}+2\mathbb {T} _{n-1}=n^{3}$

Разность двух последовательных октаэдральных чисел есть центрированное квадратное число:

$O_{n+1}-O_{n}=C_{n+1}^{4}=(n+1)^{2}+n^{2}$

Гипотеза Поллока

В 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок. выдвинул предположение, что каждое натуральное число является суммой не более семи октаэдральных чисел. Гипотеза Поллока до сих пор не доказана и не опровергнута. Компьютерная проверка показала, что, скорее всего:

• 309 — самое большое число, которое требует ровно семь слагаемых;
• 11 579 — последнее число, требующее шесть слагаемых;
• 65 285 683 — последнее число, требующее пять слагаемых.

Если гипотеза Поллока верна, то доказано, что должны существовать сколь угодно большие числа, нуждающиеся в четырёх слагаемых.

Применение

В химии октаэдрические числа могут использоваться, чтобы описать числа атомов в октаэдрических кластерах (см. «магические кластеры»).

Литература

• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Octahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.